¿Qué es una secuencia aritmética?

Secuencia aritmética

¿Qué es una secuencia aritmética?

Una secuencia aritmética es una secuencia infinita de números en la que la diferencia entre cada par de números consecutivos es siempre la misma. Por ejemplo, en la secuencia 1, 3, 5, 7, 9. . . La diferencia entre un número y el siguiente es siempre 2.

¿Cuál es la diferencia constante ( d ) entre dos números consecutivos en las siguientes secuencias?

1. -5, -3, -1, 1, 3, 5. . .

2. .5, 1, 1.5, 2. . .

3. 10, 6, 2, -2. . .

En la primera secuencia, d = 2 porque puede sumar 2 a cualquier número de la secuencia para obtener el siguiente número. Por ejemplo, -3 + 2 = -1 y 1 +2 = 3. En la segunda secuencia, d = .5. En la tercera secuencia, cada número es 4 menos que el número anterior, entonces d = -4.

La fórmula recursiva para una secuencia aritmética

Una forma de encontrar un número dentro de una secuencia es usar la fórmula recursiva. Para escribir la fórmula, usamos la siguiente notación:

a es un término en la secuencia.

n es el número de términos en la secuencia.

d es la diferencia constante entre términos.

Por lo tanto, a n = a n-1 + d

En otras palabras, para encontrar el 5to número en una secuencia con una diferencia constante de 6, necesitamos conocer el 4to número ( a n-1 ) y agregarle 6. Si se nos da la secuencia 5, 11, 17, 23 y necesitamos encontrar el siguiente número, podemos aplicar fácilmente esta fórmula sumando 6 a 23 y obteniendo 29. En otras palabras, si d = 6 y si a n - 1 = 23, entonces

a n = 23 + 6 = 29

La fórmula explícita para una secuencia aritmética

Sin embargo, si solo tenemos el primer número en una secuencia ( a 1 ), la fórmula explícita puede ser una forma más útil de encontrar otro número en la secuencia. Para entender cómo se deriva la fórmula explícita, comencemos con la siguiente secuencia donde d = -7:

100, 93, 86, 79. . .

Para obtener el primer número, comenzamos con 100 y agregamos -7 cero veces. Entonces a 1 = 100 + (-7 x 0). Para obtener el segundo número, restamos 7 una vez. Entonces a 2 = 100 + (-7 x 1). El siguiente número de la serie es un 3 = 100 + (-7 x 2), y así sucesivamente. Cada vez estamos agregando -7 exactamente una vez menos que el número de términos en la secuencia. Por lo tanto, podemos escribir una fórmula general para expresar este patrón de la siguiente manera:

a n = a 1 + ( n -1) x d

Si queremos encontrar, por ejemplo, el número 17 en una serie que comienza con 3 y tiene una diferencia constante de .5, podemos insertar esa información en la fórmula de esta manera:

a 17 = 3 + (17-1) x .5 = 11

Práctica

Problema 1 : ¿Cuál es la diferencia constante ( d ) en la siguiente secuencia?

24, 32, 40, 48, 56. . .

Solución: en esta secuencia d = 8 porque podemos agregar 8 a cada número para obtener el siguiente número.

Problema 2: ¿Cuál es el siguiente número en la secuencia anterior?

Solución: Usando la fórmula recursiva, sabemos que el sexto número ( a 6 ) es igual al quinto número ( a 6-1 ) más la diferencia constante ( d ). Como 56 + 8 = 64, el siguiente número de la serie es 64.

Problema 3: escriba una fórmula explícita para la secuencia en el problema 1 y use esa fórmula para encontrar el número 11 de la secuencia.

Solución: Dado que a n = 24 + (n-1) x 8 yn = 11, entonces a 11 = 24 + (11-1) x 8 = 104.